Показательные уравнения нестандартного вида

Раскроем скобки в показателях степеней:

5^2x²-1-3*5^x²+3x+2-2*5^6x+6=0

Вынесем 5^6x+6 за скобки:

5^6x+6*(5^2x²-6x-7-3*5^x²-3x-4-2)=0

5^2x²-6x-7-3*5^x²-3x-4-2=0

Выражение 5^6x+6=0 не имеет решения, т.к. aⁿ≠0. Представим 5^2x²-6x-7 как 5^{2(x²-3x-4)+1} и обозначим 5^x²-3x-4 переменной t. Получим:

По теореме Виета получим корни:

Корень t₂=-2/5 не будет удовлетворять уравнению, т.к. положительное число в любой степени больше нуля. Подставим вместо t - 5^x²-3x-4

Заметим, что 1=5⁰

Приравниваем показатели:

D=9+16=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня:

Напишем сразу ОДЗ: x≥0, т.к. D(√)=R+ U 0

Заметим, что 0,2^4/(√x+2)=5^{-1(4/(√x+2))}=5^-4/(√x+2); 125^x-4=5^3(x-4)=5^3x-12; 0,04^x-2=5^-2(x-2)=5^4-2x

Обозначим √x переменной t>0

5^t²/(t+2)*5^-4/(t+2)=5^3t²-12*5^4-2t²

Отметим, что t≠0, т.к. деление на 0 не определено. При умножении складываем показатели степеней:

5^{(t²-4)/(t+2)}=5^t²-8

Приравниваем показатели степеней

(t²-4) по формуле квадрат разности будет (t+2)*(t-2)

(t+2)*(t-2)/(t+2)=t²-8

Перенесем все члены в правую часть уравнения:

D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

t₂=-2 не удовлетворяет уравнению, т.к. в случае 5^{(t²-4)/(t+2)}=5^t²-8 при t=-2 (t+2)=0, а деление на 0 не определено. Подставим вместо t - √x

Возведем левую и правую часть уравнения в квадрат:

Перенесем 3*4^x в правую часть уравнения, а (1/2)*9^x+1 - в левую:

(1/3)*9^x+2+(1/2)*9^x+1=6*4^x+1-3*4^x

В левой части уравнения 9^x+1 вынесем за скобки, а в правой - 4^x :

9^x+1 * (1/3 * 9 + 1/2)=4^x * (6*4-3)

Сложив действия в скобках, получим:

Поделим левую и правую часть уравнения на 21/2 :

Заметим, что 9^x=3^2x,4^x=2^2x и 1/3=3^-1

Сложим показатели степеней при умножении:

3^2x+1=2^2x+1 лишь в том случае, если 2^x+1=0, т.к. любое число в нулевой степени - 1.

Напишем сразу ОДЗ: x-2≥0, т.к. D(√)=R+ U 0, следовательно, x≥2

Представим 49^1+√x-2 как 7^2√x-2*49 и перенесем -7 в левую часть уравнения с противоположным знаком:

7^2*√x-2*49-344*7^√x-2+7=0

Обозначим 7^√x-2 переменной t>0, т.к. положительное число в любой степени больше нуля.

D=118336-1372=116964, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня:

t₁=(344-342)/108=1/49

t₂=(344+342)/108=7

t₁=1/49 не удовлетворяет уравнению, т.к. t должно быть больше 0 . Подставим вместо t - 7^√x-2

Приравниваем показатели:

Возведем левую и правую часть уравнения в квадрат:

Перенесем -2 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Представим (0,25)^|x| как(1/4)^|x|, √(3)^2x²-8 как 3^x²-4, а (27/4)^|x| как 3^3|x|*(1/4)^|x|:

(1/4)^|x|*3^x²-4-3^3|x|*(1/4)^|x|=0

Вынесем (1/4)^|x| за скобки:

(1/4)^|x|*(3^x²-4-3^3|x|)=0

(1/4)^|x| не удовлетворяет, т.к. любое положительное число в любой степени больше нуля.

Модуль раскроется в двух случаях:

Рассмотрим случай A:

Перенесем 3^3x в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Приравниваем показатели:

По теореме Виета получим корни:

Корень t₂=-1 не будет удовлетворять уравнению, т.к. мы оговорили, что a≥0.

Рассмотрим случай B:

3^x²-4-3^-3x=0

Перенесем 3^-3x в правую часть уравнения с противоположным знаком:

3^x²-4=3^-3x

Приравниваем показатели:

x²-4=-3x

Перенесем 3x в левую часть уравнения с противоположным знаком:

x²+3x-4=0

По теореме Виета получим корни:

x₁=-4

x₂=1

Корень t₂=1 не будет удовлетворять уравнению, т.к. мы оговорили, что a<0.

Ответ: х=4 и х=-4

Пример №6

(25^{^x2}-5^x²)√-x=5^2x²+1-5^x²+1+20√-x-100

Напишем сразу ОДЗ: √-x≥0, т.к. D(√)=R+ U 0, следовательно, -x≥0, тогда x≤0.

Представим 25^{^x2} как 5^2x²:

(5^2x²-5^x²)√-x=5^2x²+1-5^x²+1+20√-x-100

Вынесем 5^x², 20 и 5^x²+1 за скобки:

5^x²(5^x²-1)√-x=5^x²+1(5^x²-1)+20(√-x-5)

Перенесем 5^x²+1(5^x²-1)+20(√-x-5) в левую часть уравнения с противоположными знаками:

5^x²(5^x²-1)√-x - 5^x²+1(5^x²-1)-20(√-x-5)=0

Вынесем 5^x²(5^x²-1) за скобки:

5^x²(5^x²-1)(√-x-5)-20(√-x-5)=0

Вынесем (√-x-5) за скобки:

(√-x-5)(5^x²(5^x²-1)-20)=0

(√-x-5)=0

(5^x²(5^x²-1)-20)=0

Решим их по отдельности:

(√-x-5)=0

Перенесем -5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

√-x=5

Возведем левую и правую часть уравнения в квадрат:

-x=25

Домножим левую и правую часть уравнения на -1:

x=-25

(5^x²(5^x²-1)-20)=0

Раскроем скобки:

5^2x²-5^x²-20=0

5^x² обозначим переменной t, тогда 5^2x² будет t²:

t²-t-20=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+80=81, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

t₁=(1+9)/2=1

t₂=(1-9)/2=-4

Корень t₂=-4 не будет удовлетворять уравнению, т.к. любое положительное число в любой степени больше нуля.

Подставим вместо t - 5^x²:

5^x²=1

Заметим, что 5⁰=1:

5^x²=5⁰

Приравним показатели:

x²=0

x=0

Ответ: x=0 и x=-25

Пример №7

(3-2√2)^x²-2x+2+(17+√288)^0,5*x²-x+1=6

Заметим, что (17+√288)^0,5*x²-x+1=(3+2√2)^{2(0,5*x²-x+1)}

(3-2√2)^x²-2x+2+(3+2√2)^{2(0,5*x²-x+1)}=6

Раскроем скобки в показателе степени 2(0,5*x²-x+1)

(3-2√2)^x²-2x+2+(3+2√2)^x²-2x+2=6

Введем подстановку: (3-2√2)^x²-2x+2 обозначим переменной t. А (3+2√2)^x²-2x+2 домножим на сопряженные и получим:

((3+2√2)^x²-2x+2*(3-2√2)^x²-2x+2)/(3-2√2)^x²-2x+2=(3²-2√2²)^x²-2x+2=(9-8)^x²-2x+2/(3-2√2)^x²-2x+2=1^x²-2x+2/(3-2√2)^x²-2x+2=1/(3-2√2)^x²-2x+2

Следовательно, 1/(3-2√2)^x²-2x+2=1/t:

t+1/t=6

Отметим, что t≠0, т.к. деление на 0 не определено. Домножим левую и правую часть на t:

t2+1=6t

Перенесем 6t в левую часть уравнения с противоположным знаком:

t2-6t+1=0

Решим квадратное уравнение:

D=36-4=32, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня. Отметим, что √32=4√2

t₁=(6+4√2)/2=3+2√2

t₂=(6-4√2)/2=3-2√2

Заменим t₁ на (3-2√2)^x²-2x+2

3+2√2=(3-2√2)^x²-2x+2

Домножим 3+2√2 на сопряженные и получим:

(3+2√2)*(3-2√2)/(3-2√2)=(9-8)/(3-2√2)=1/(3-2√2)

Следовательно:

1/(3-2√2)=(3-2√2)^x²-2x+2

Заметим, что 1/(3-2√2)=(3-2√2)^-1

Следовательно:

(3-2√2)^-1=(3-2√2)^x²-2x+2

Приравняв показатели, получим:

-1=x²-2x+2

Перенесем -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

x²-2x+3=0

D=4-8=-4, D<0, следовательно, уравнение не имеет действительных корней

Заменим t₂ на (3-2√2)^x²-2x+2

3-2√2=(3-2√2)x2-2x+2

Приравняв показатели, получим:

1=x²-2x+2

Перенесем 1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

x²-2x+1=0

Сложив формулу, получим:

(x-1)²=0

Следовательно:

x-1=0

Перенесем -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком. Получим:

x=1

Ответ: x=1

<< Назад ] [ Начало ] [ Вперед >>

Этап №6