Этап №5
Примеры решения показательных уравнений
Пример №1
1000x=100
Представим левую и правую часть уравнения в виде степени, имеющую одинаковые основания:
103x=102
Теперь, когда основания одинаковые, нужно приравнять показатели степеней.
3x=2
x=2/3
Ответ: x=2/3 .
Главное в показательных уравнениях - свести левую и правую часть уравнения к общему основанию:
Пример №2
(2/5)x=(5/2)4
Представим (2/5)x как (5/2)-x:
(5/2)-x=(5/2)4
Основания одинаковые, следовательно, приравниваем показатели:
-x=4
x=-4
Ответ: x=-4
Пример №3
√3х=9
√3х распишем как 3x/2, а 9 - как 32:
3х/2=32
Приравниваем показатели:
х/2=2
х=4
Ответ: x=4
Пример №4
3х2-х-2=81
Заметим, что 81=34
3х2-х-2=34
Приравниваем показатели:
х2-х-2=4
х2-х-6=0
Получили квадратное уравнение:
D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня
х1=(1+5)/2=3
х2=(1-5)/2=-2
Ответ: х=3 и х=-2
Пример №5
4х+1+4х=320
В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4х за скобки:
4х(4+1)=320
4х*5=320
Представим 320 в виде 5*43, тогда:
4х*5=5*43
Поделим левую и правую часть уравнения на 5:
4х=43
Приравняем показатели:
х=3
Ответ: х=3
Пример №6
7х+2+4*7х-1=347
Степенью с наименьшим показателем в этом уравнении является х-1, следовательно, за скобки выносим 7x-1. Получаем:
7х-1*(73+4)=347
7х-1*347=347
Поделим левую и правую часть уравнения на 347:
7х-1=1
Заметим, что любое число в нулевой степени равно 1. Следовательно, распишем 1 как 70:
7х-1=70
Приравняв показатели, получим:
х-1=0
х=1
Ответ: х=1
Пример №7
4х-5*2х+4=0
Представим 4х как 22х, получим:
22х-5*2х+4=0
Введем подстановку: 2х обозначим переменной t. Cледовательно: 22х=t2. Получим:
t2-5t+4=0
Найдем корни уравнения по теореме Виета:
t1=1
t2=4
Заменим t на 2х:
2х=1
Заметим, что 20=1
2х=20
Приравняем показатели:
х=0
2х=4
Заметим, что 4=22
2х=22
Приравняем показатели:
х=2
Уравнение имеет два действительных корня 0 и 2.
Ответ: х=0 и х=2
Пример №8
(√2+√3)х + (√2-√3)х=4
Введем подстановку: (√2+√3)х обозначим переменной t. А (√2-√3)х домножим на сопряженные и получим:
((√2+√3)х*(√2-√3)х) / (√2+√3)х = (√4-3)х/(√2+√3)х = 1 x/(2+√3)x = 1/(2+√3)x
Следовательно, 1/(√2+√3)х=1/t.
Получаем:
t+1/t=4
Отметим, что t=0, т.к. деление на 0 не определено. Домножим левую и правую часть на t:
t2+1=4t
t2-4t+1=0
Решим квадратное уравнение:
D=16-4=12, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня
t1=(4-2√3)/2=2-√3
t2=(4+2√3)/2=2+√3
Заменим t на (√2+√3)х:
(√2-√3)х=2+√3
Домножим 2+√3 на сопряженные и получим:
1/(2-√3)=2+√3
Cледовательно:
(√2-√3)х=1/2-√3
Заметим, что 1/2-√3=(√2-√3)-2
(√2+√3)х=(√2-√3)-2
Приравняв показатели, получим:
х=-2
Заменим t на 2+√3
(√2+√3)х=2+√3
Заметим, что 2+√3=(√2+√3)2
Приравняв показатели, получим:
х=2
Ответ: х=-2 и х=2
Пример №9
x+y=6
xy2+7y+12=1
Выразим x:
x=6-y
xy2+7y+12=1
Заметим, что x0=1:
x=6-y
xy2+7y+12=x0
Приравним показатели:
x=6-y
y2+7y+12=0
Решим отдельно квадратное уравнение:
y2+7y+12=0
D=49-48=1, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня
y1=(-7+1)=-3
y2=(-7-1)=-4
y=-3
x=6-(-3)=9
y=-4
x=6-(-4)=10
Ответ: x=9; y=-3 и x=10; y=-4
<< Назад ] [ Начало ] [ Вперед >>
