Уравнение называется показательным, если неизвестная входит в показатель степени.
Степенью называется произведение, составленное из одинаковых множителей.
Повторяющийся множитель называется основанием степени, а число всех одинаковых множителей называется показателем степени.
Произведение a * a * a * ... * a, в котором множитель a повторяется n раз, есть степень с основанием a и показателем n. Эту степень принято обозначать символом аn
Далее в показательных уравнениях мы столкнемся с такими символами, как а0 и a-n
Символ а0 по своей форме напоминает степень. Однако истолковать его как степень в первоначальном понимании этого слова невозможно. Бессмысленно сказать, что число a умножается само на себя нуль раз. С этой точки зрения выражение а0 не имеет смысла. Но если мы хотим расширить правило деления степеней и на тот случай, когда их показатели одинаковые, то нам достаточно принять по условию символ а0, где a0, равным единице. Итак, примем по определению, что а0 = 1. если только a≠0. Тогда:
50 = 1;
(71/2)0 = 1;
10 = 1;
(1/3)0 = 1;
(-3)0 = 1 и т. д.
Выражение же 00 остается лишенным смысла. Теперь мы можем писать a5: a5 = а0, где а≠0. И эта запись будет вполне оправдана. В самом деле, левая часть есть единица, так как делимое и делитель равны между собой и отличны от нуля. Правая часть согласно принятому определению также есть единица.
Символ a-n также имеет форму степени. Однако истолковать его как степень в первоначальном понимании этого слова невозможно. Бессмысленно говорить, что число a умножается само на себя отрицательное число раз. Но если мы хотим расширить правило деления степеней и на тот случай, когда показатель степени делимого меньше показателя степени делителя, достаточно принять a-n, где a≠0, равным 1/аn. Тогда:
5-2 = 1/52=0,25;
(1/2)-3 = 1/(1/2)3 = 8;
(a/b)-n = 1/(a/b)n = bn/an = (b/a)n;
(a+b)-2 = 1/(a+b)2.
Теперь справедливо a3:a5 = a-2, где a≠0
И эта запись будет вполне оправданной. В самом деле, левая часть есть a3/a5, т. е. 1/a2; правая же, по принятому нами определению, также есть 1/a2.
Следуя из этих убеждений, Символ а0 называется степенью с нулевым показателем, а символ a-n - степенью с отрицательным показателем.
Итак:
Таким образом, выражение аn стало иметь смысл степени и тогда, когда n-нуль или целое отрицательное число. Теперь примем еще одно определение.
Под выражением аp/q, где а>0 и числа p и q натуральные условимся понимать арифметическое значение следующего корня q√a p . Например:
251/2=√25=5;
1252/3=3√125 2=3√5 6=52=25.
Таким образом, выражение аn стало иметь смысл и тогда, когда n есть дробное положительное число. Легко убедиться в том, что действия над выражениями вида аp/q можно производить также по тем правилам, которые были установлены для степеней, имеющих целые показатели. Действительно,
ap/q*am/n=q√a p * m√a n=qn√a pn * qn√a pm = qn√a pn+mq= a(pn+mq)/nq = ap/q+m/n
Также можно убедиться в том, что
аp/q:аm/n= аp/q-m/n;
(аp/q)m/n = аpm/nq;
(аb)p/q = аp/q*bp/q и т. д.
<< Назад ] [ Начало ] [ Вперед >>