Этап №2

Теоретический материал по обобщенным степеням

Далее в показательных уравнениях мы столкнемся с такими символами, как а0 и a-n

Символ а0 по своей форме напоминает степень. Однако истолковать его как степень в первоначальном понимании этого слова невозможно. Бессмысленно сказать, что число a умножается само на себя нуль раз. С этой точки зрения выражение а0 не имеет смысла. Но если мы хотим расширить правило деления степеней и на тот случай, когда их показатели одинаковые, то нам достаточно принять по условию символ а0, где a0, равным единице. Итак, примем по определению, что а0 = 1. если только a≠0. Тогда:

50 = 1;
(71/2)0 = 1;
10 = 1;
(1/3)0 = 1;
(-3)0 = 1 и т. д.

Выражение же 00 остается лишенным смысла. Теперь мы можем писать a5: a5 = а0, где а≠0. И эта запись будет вполне оправдана. В самом деле, левая часть есть единица, так как делимое и делитель равны между собой и отличны от нуля. Правая часть согласно принятому определению также есть единица.

Символ a-n также имеет форму степени. Однако истолковать его как степень в первоначальном понимании этого слова невозможно. Бессмысленно говорить, что число a умножается само на себя отрицательное число раз. Но если мы хотим расширить правило деления степеней и на тот случай, когда показатель степени делимого меньше показателя степени делителя, достаточно принять a-n, где a≠0, равным 1/аn. Тогда:

5-2 = 1/52=0,25;
(1/2)-3 = 1/(1/2)3 = 8;
(a/b)-n = 1/(a/b)n = bn/an = (b/a)n;
(a+b)-2 = 1/(a+b)2.

Теперь справедливо a3:a5 = a-2, где a≠0

И эта запись будет вполне оправданной. В самом деле, левая часть есть a3/a5, т. е. 1/a2; правая же, по принятому нами определению, также есть 1/a2.

Следуя из этих убеждений, Символ а0 называется степенью с нулевым показателем, а символ a-n - степенью с отрицательным показателем.

Итак:

  1. Если a≠0, то а0 = 1.
  2. Если a≠0 и n - целое положительное число, то a-n = 1/an

Таким образом, выражение аn стало иметь смысл степени и тогда, когда n-нуль или целое отрицательное число. Теперь примем еще одно определение.

Под выражением аp/q, где а>0 и числа p и q натуральные условимся понимать арифметическое значение следующего корня qa p . Например:

251/2=√25=5;
1252/3=3125 2=35 6=52=25.

Таким образом, выражение аn стало иметь смысл и тогда, когда n есть дробное положительное число. Легко убедиться в том, что действия над выражениями вида аp/q можно производить также по тем правилам, которые были установлены для степеней, имеющих целые показатели. Действительно,

ap/q*am/n=qa p * ma n=qna pn * qna pm = qna pn+mq= a(pn+mq)/nq = ap/q+m/n

Также можно убедиться в том, что

аp/qm/n= аp/q-m/n;
p/q)m/n = аpm/nq;
(аb)p/q = аp/q*bp/q и т. д.

<< Назад ] [ Начало ] [ Вперед >>

Hosted by uCoz